دیوفانت دیوفانتوس اسکندرانی
license
98
1713
100
معنی کلمه دیوفانت دیوفانتوس اسکندرانی
معنی واژه دیوفانت دیوفانتوس اسکندرانی
diophantus alexandria
|
دیوفانت دیوفانتوس اسکندرانی
معنی:
دیوفانت اسکندرانی (به یونانی: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς) از ریاضیدانان قدیم است که در حدود قرن سوم عصر حاضر می‌زیسته‌است.
محتویات
شرح زندگی
از کسانی که اهمیت وافری در بسط جبر و تأثیری عظیم بر دانشمندان اروپایی نظریه اعداد داشتند، دیوفانت بود. دیوفانت، همچون هرون، ریاضیدان دیگری با تاریخ و ملیت نامعلوم است.
گرچه شواهد ضعیفی وجود دارند مبنی بر اینکه وی شاید از معاصرین، یا تقریباً از معاصرین هرون بوده‌است، اغلب مورخین مایلند او را در قرن سوم عصر حاضر قرار دهند. سوای این حقیقت که او در اسکندریه زندگی می‌کرده‌است چیز قطعی در باره وی معلوم نمی‌باشد. تقریباً همه آنچه از زندگی شخصی دیوفانت می‌دانیم اطلاعات موجود در یک معما است که در خلاصه زیر از کتیبه گوری که در آنتولوژی یونانی داده شده‌است، مندرج است:
«دیوفانت یک ششم زندگانی خود را در کودکی به سر برد، یک دوازدهم آن را در جوانی و یک هفتم دیگر را در تجرد. پنج سال بعد از ازدواج صاحب پسری شد که چهار سال پیش از پدر، در سنی که نصف سن (نهایی) پدرش بود، در گذشت.دیوفانت به هنگام وفات چند سال داشت؟»
او به خاطر مطالعات خود در زمینه معادلاتی با متغیرهای گویا بسیار مشهور است و این معادلات پس از او به نام معادلات دیوفانتی یا معادلات سیاله نامیده شدند. دیوفانت سه اثر نوشته‌است:
آریثمتیکا (Arithmetica) یا همان علم حساب، مهم‌ترین اثر وی است که ۶ مقاله از ۱۳ مقاله آن باقی است.
درباره اعداد چند ضلعی (On Polygonal Numbers) که تنها قطعه‌ای از آن باقی است.
پوریسم‌ها که مفقود شده‌است. پوریسم (Porism) امروزه به عنوان گزاره‌ای گرفته می‌شود، بیانگر شرطی که مسئله معینی را قابل حل می‌گرداند، و در این صورت مسئله بینهایت جواب دارد. برای مثال اگر r و R شعاع‌های دو دایره و d فاصله بین مراکز آنها باشد، مسئله محاط کردن مثلثی در دایرهٔ به شعای R که بر دایره به شعاع r محیط شود، فقط و فقط وقتی قابل حل است که ، و در این صورت بینهایت مثلث از این قبیل وجود خواهد داشت. این واژه توسط اقلیدس به کار رفته‌است.
آریثمتیکا شارحین بسیاری داشته‌است، اما رگیومونتانوس (Regiomontanus) بود که در سال ۱۴۶۳، برای ترجمه لاتین متن یونانی آن دعوت به عمل آورد. ترجمه شایسته‌ای از آن، همراه با شرح، در ۱۵۷۵ توسط کسیلاندر (Xylander) -نامی یونانی که ویلهلم هولتسمان (Wilhelm Holzmann)، استادی در دانشگاه هایدلبرگ اختیار کرده بود-انجام شد. این ترجمه به نوبه خود توسط باشه دومزیریاک (Bachet de Meziriac) فرانسوی مورد استفاده قرار گرفت و وی در ۱۶۲۱ اولین چاپ متن یونانی را همراه با ترجمه لاتین و حاشیه‌هایی بر آن منتشر کرد. چاپ دومی، که با بی‌مبالاتی صورت گرفته بود، در ۱۶۷۰ انتشار یافت، و از نظر تاریخی بدان سبب اهمیت دارد که حواشی نوشته شده توسط فرما را که انگیزه تحقیقات گسترده‌ای در نظریه اعداد شد، شامل می‌شد. ترجمه‌های فرانسوی، آلمانی و انگلیسی بعدها ظاهر شدند.
آریثمتیکا یک بررسی تحلیلی از نظریه جبری اعداد است و دلالت بر چیره‌دستی مؤلف آن در این زمینه دارد. بخش موجود این اثر به حل حدود ۱۳۰ مسئله، که تنوع قابل ملاحظه‌ای دارند، اختصاص یافته‌است و منجر به معادلاتی از درجه اول و دوم می‌شوند. در این اثر حالت بسیار خاصی از معادله درجه سوم حل شده‌است. مقاله اول به معادلات معین با یک مجهول مربوط است، و مقاله‌های دیگر به معادلات نامعین (سیاله) از درجه دوم و گاهی بیشتر، با دو یا سه مجهول می‌پردازند. آنچه قابل توجه‌است فقدآن روشهای کلی، و کاربردهای مکرر تدابیر هوشمندانه‌ای است که به اقتضای هر مسئله طرح می‌شوند. دیوفانت تنها جوابهای گویای مثبت را قبول داشت و اغلب حالات فقط به یک جواب برای مسئله قانع بود.
چند قضیه موثر درباره اعداد در آریثمتیکا وجود دارند. مثلاً، بدون برهان ولی با اشاراتی به پوریسم‌ها، گفته می‌شود که تفاضل دو مکعب گویا مجموع دو مکعب گویا نیز هست. مطلبی که بعداً توسط ویت، باشه و فرما تحقیق شد.
قضایای زیادی درباره نمایش اعداد به صورت مجموع دو، سه یا چهار مربع وجود دارند، این زمینه تحقیق بعدها به وسیله فرما، اویلر و لاگرانژ تکمیل شد. شاید ذکر برخی از مسائلی که در آریثمتیکا دیده می‌شوند جالب باشد، همه آنها جذاب و بعضی از آنها مستلزم تلاش فراوان هستند. باید در نظر داشت که منظور از «عدد»، «عدد مثبت گویا» است. (شماره گذاری مسائل به همان ترتیبی است که در Diophantus of Alexandria چاپ دوم به کار رفته‌است)
مسئله ۲۸، مقاله ۲: دوعدد مربع کامل بیابید که اگر حاصلضرب آنها بر هریک از آنها افزوده شود، یک مربع کامل عاید نماید.
(جواب دیوفانت:)
مسئله۶، مقاله ۳: سه عدد پیدا کنید که مجموع آنها یک مربع کامل و مجموع هر زوج آنها یک مربع کامل باشد.
(جواب دیوفانت: ۸۰، ۳۲۰، ۴۱)
مسئله۷، مقاله ۳: سه عدد که تصاعد حسابی تشکیل می‌دهند، پیدا کنید که مجموع هر زوج از آنها یک مربع کامل باشد.
(جواب دیوفانت: )
مسئله۱۳، مقاله ۳: سه عدد بیابید که وقتی حاصلضرب هر دو تا از آنها به سومی افزوده شود، حاصل یک مربع کامل باشد.
همانطور که گفته شد مسایل جبری نامعین (معادلات سیاله) که در آن تنها باید جوابهای گویا را یافت، به مسایل دیوفانتی معروف شده‌اند. در واقع، موارد استفاده امروزی این اصطلاح اغلب متضمن تحدید جوابها به اعداد صحیح است. اما دیوفانت خود ابداع کننده مسایلی از این قبیل نبوده‌است. همچنین بر خلاف آنچه گاهی گفته می‌شود، اولین کسی نبوده‌است که با معادلات سیاله کار کرده‌است، و اولین کسی نبوده‌است که معادلات درجه دوم را به روش غیر هندسی حل کرده‌است. با این حال وی شاید اولین کسی بوده که گامهایی در جهت نماد گذاری جبری برداشته‌است. این گامها ماهیتاً از نوع علائم اختصاری تندنویسی بودند.
دیوفانت علائم اختصاری برای مجهول، توانهای مجهول تا مرتبه ششم، تفریق، تساوی، و معکوسها داشت. کلمه «آریثمتیک» در انگلیسی کنونی (arithmetic) به معنی علم حساب، از کلمه یونانی آریثمتیکه (arithmetike) ترکیبی از کلمات آریثموس (arithmos) برای «عدد» و تکنه (techne) برای «علم»، ناشی می‌شود.
هیث به طور نسبتاً متقاعد کننده‌ای خاطر نشان کرده‌است که نماد دیوفانت برای مجهول احتمالاً از ادغام دو حرف یونانی ρ,α در کلمه آریثموس مشتق شده‌است، که با گذشت زمان، به سیگمای نهایی نهایی یونانی ς شباهت پیدا کرده‌است. با وجود اینکه در این مورد تردید وجود دارد، معنی نماد برای توانها مجهول کاملاً روشن است.
مثلاً «توان دوم مجهول» با دو حرف اول کلمه یونانی «دونامیس» (dunamis-ΔΥΝΑΜΙΣ) برای «توان» نشان داده می‌شود. همینطور «مکعب مجهول» با ، دو حرف اول کلمه یونانی «کوبوس» (kubos-ΚΥΒΟΣ) برای «مکعب» نشان داده می‌شود.
می‌توان به سادگی توضیحاتی برای توانهای بعدی مجهول داد، (مربع-مربع) ، (مربع-مکعب) و (مکعب-مکعب) عرضه کرد.
نماد دیوفانت برای «منها» شبیه علامت V برعکس است که نیمساز زاویه آن رسم شده باشد. این به عنوان ترکیبی از «Λ» (لاندای بزرگ یونانی) و «Ι» (اوتای بزرگ یونانی)، حروفی در کلمه یونانی لایپیس (ΛΕΙΨΙΣ) برای «فاقد بودن» تعبیر شده‌است. کلیه جملات منفی در یک عبارت یکجا جمع می‌شوند و نماد منها پیش از آنها می‌آید. جمع با پهلوی هم نهادن نشان داده می‌شود، و ضریب هر توان مجهول با ارقام یونانی الفبایی بعد از نماد توان، نمایش داده می‌شود. اگر جمله ثابتی موجود باشد آنگاه M، مخففی از کلمه یونانی «مونادس» (monades-ΜΟΝΑΔΕΣ)، برای «آحاد»، باضریب عددی مناسب، برای نمایش آن به کار می‌رود.
مثلاً x3+13x2+5x و x3-5x2+8x-1 به صورت:
ظاهر می‌شوند که به طور تحت الفظی چنین خوانده می‌شوند: «مکعب مجهول ۱، مربع مجهول ۱۳، مجهول ۵» و « (مکعب مجهول ۱، مجهول ۸) منهای (مربع مجهول ۵، آحاد ۱) »
جستارهای وابسته
معادله سیاله
آنتولوژی یونانی
اعداد
دستگاههای عدد نویسی
ریاضیات بابلی و مصری
فیثاغورس
ارشمیدس
جستارهای وابسته
معادله سیاله
آنتولوژی یونانی
اعداد
دستگاههای عدد نویسی
ریاضیات بابلی و مصری
فیثاغورس
ارشمیدس
منابع
هاورد و.ایوز. آشنایی با تاریخ ریاضیات. ترجمهٔ دکتر محمد قاسم وحیدی اصل. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۶۹.
مراجع کتابداری
نامنامه برخط (VIAF): 2604182
رده‌ها: درگذشتگان سده ۳ (میلادی)ریاضیدانان اهل یون انزادگان سده ۳ (میلادی)
قس عربی
دیوفانتوس الاسکندری (بالیونانیة: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς XD هو عالم یونانی عاش فی الإسکندریة وبرع فی الریاضیات. ما عرف عن حیاته قلیل جداً حیث لم یعرف تاریخ ولادته ولا تاریخ وفاته بدقة. وجد فی کتاب لأحد الأساقفة الیونان إهداء من الکاتب إلى دیوفانتوس عام 345م ویبحث الکتاب فی علم الحساب عند المصریین. ألّف دیوفانتوس 13 کتاباً باللغة الیونانیة، لم یحفظ منها إلا ستة فقط، وقد کتب جوهانس مولر بتاریخ ما بین (1436-1476) إلى صدیق له أنه وجد الکتب الستة الأولى لدیوفانتوس فی مکتبة الفاتیکان وأنه سیقوم بترجمتها، ولکن لم تتم الترجمة إلا بعد أکثر من مئة عام.
تأثر دیوفانتوس بالمصریین والبابلیین والصینیین کما هو واضح فی أعماله التی من أهمها کتاب الحساب الذی یعدُّ أقدم کتاب استخدم الرموز الجبریّة. وبحث فی خواص الأعداد الصحیحة. لم یطرأ تطور یذکر على نظریة الأعداد بعد دیوفانتوس حتى القرن السابع عشر المیلادی حین ظهر فیرما الذی جعل من أعمال دیوفانتوس أساساً لأبحاثه.
مراجع
^
هذه بذرة مقالة عن سیرة عالم أو باحث علمی تحتاج للنمو والتحسین، فساهم فی إثرائها بالمشارکة فی تحریرها.
بوابة الریاضیات بوابة الإسکندریة
تصنیفات: عاملون فی نظریة الأعداد ریاضیاتیون إغریق موالید القرن 3وفیات القرن 3
قس انگلیسی
Diophantus of Alexandria (Ancient Greek: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς. b. between A.D. 200 and 214, d. between 284 and 298 at age 84), sometimes called "the father of algebra", was an Alexandrian Greek mathematician and the author of a series of books called Arithmetica. These texts deal with solving algebraic equations, many of which are now lost. In studying Arithmetica, Pierre de Fermat concluded that a certain equation considered by Diophantus had no solutions, and noted without elaboration that he had found "a truly marvelous proof of this proposition," now referred to as Fermats Last Theorem. This led to tremendous advances in number theory, and the study of Diophantine equations ("Diophantine geometry") and of Diophantine approximations remain important areas of mathematical research. Diophantus coined the term παρισὀτης to refer to an approximate equality. This term was rendered as adaequalitat in Latin, and became the technique of adequality developed by Pierre de Fermat to find maxima for functions and tangent lines to curves. Diophantus was the first Greek mathematician who recognized fractions as numbers; thus he allowed positive rational numbers for the coefficients and solutions. In modern use, Diophantine equations are usually algebraic equations with integer coefficients, for which integer solutions are sought. Diophantus also made advances in mathematical notation.
Contents
Biography
Little is known about the life of Diophantus. He lived in Alexandria, Egypt, probably from between A.D. 200 and 214 to 284 or 298. Much of our knowledge of the life of Diophantus is derived from a 5th century Greek anthology of number games and strategy puzzles. One of the problems (sometimes called his epitaph) states:
Here lies Diophantus, the wonder behold.
Through art algebraic, the stone tells how old:
God gave him his boyhood one-sixth of his life,
One twelfth more as youth while whiskers grew rife;
And then yet one-seventh ere marriage begun;
In five years there came a bouncing new son.
Alas, the dear child of master and sage
After attaining half the measure of his fathers life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, he ended his life.
This puzzle implies that Diophantus lived to be 84 years old. However, the accuracy of the information cannot be independently confirmed.
In popular culture, this puzzle was the Puzzle No.142 in Professor Layton and Pandoras Box as one of the hardest solving puzzles in the game, which needed to be unlocked by solving other puzzles first.
Arithmetica
See also: Arithmetica
The Arithmetica is the major work of Diophantus and the most prominent work on algebra in Greek mathematics. It is a collection of problems giving numerical solutions of both determinate and indeterminate equations. Of the original thirteen books of which Arithmetica consisted only six have survived, though there are some who believe that four Arab books discovered in 1968 are also by Diophantus. Some Diophantine problems from Arithmetica have been found in Arabic sources.
It should be mentioned here that Diophantus never used general methods in his solutions. Hermann Hankel, renowned German mathematician made the following remark regarding Diophantus.
“Our author (Diophantos) not the slightest trace of a general, comprehensive method is discernible; each problem calls for some special method which refuses to work even for the most closely related problems. For this reason it is difficult for the modern scholar to solve the 101st problem even after having studied 100 of Diophantos’s solutions” – discuss
History
Like many other Greek mathematical treatises, Diophantus was forgotten in Western Europe during the so-called Dark Ages, since the study of ancient Greek had greatly declined. The portion of the Greek Arithmetica that survived, however, was, like all ancient Greek texts transmitted to the early modern world, copied by, and thus known to, medieval Byzantine scholars. In addition, some portion of the Arithmetica probably survived in the Arab tradition (see above). In 1463 German mathematician Regiomontanus wrote:
“No one has yet translated from the Greek into Latin the thirteen books of Diophantus, in which the very flower of the whole of arithmetic lies hidden . . . .”
Arithmetica was first translated from Greek into Latin by Bombelli in 1570, but the translation was never published. However, Bombelli borrowed many of the problems for his own book Algebra. The editio princeps of Arithmetica was published in 1575 by Xylander. The best known Latin translation of Arithmetica was made by Bachet in 1621 and became the first Latin edition that was widely available. Pierre de Fermat owned a copy, studied it, and made notes in the margins.
Margin writing by Fermat and Chortasmenos
Problem II.8 in the Arithmetica (edition of 1670), annotated with Fermats comment which became Fermats Last Theorem.
The 1621 edition of Arithmetica by Bachet gained fame after Pierre de Fermat wrote his famous "Last Theorem" in the margins of his copy:
“If an integer n is greater than 2, then has no solutions in non-zero integers a, b, and c. I have a truly marvelous proof of this proposition which this margin is too narrow to contain.”
Fermats proof was never found, and the problem of finding a proof for the theorem went unsolved for centuries. A proof was finally found in 1994 by Andrew Wiles after working on it for seven years. It is believed that Fermat did not actually have the proof he claimed to have. Although the original copy in which Fermat wrote this is lost today, Fermats son edited the next edition of Diophantus, published in 1670. Even though the text is otherwise inferior to the 1621 edition, Fermats annotations—including the "Last Theorem"—were printed in this version.
Fermat was not the first mathematician so moved to write in his own marginal notes to Diophantus; the Byzantine scholar John Chortasmenos (14th/15th C.) had written "Thy soul, Diophantus, be with Satan because of the difficulty of your theorems" next to the same problem.
Other works
Diophantus wrote several other books besides Arithmetica, but very few of them have survived.
The Porisms
Diophantus himself refers to a work which consists of a collection of lemmas called The Porisms (or Porismata), but this book is entirely lost. Some scholars think that The porisms may have actually been a section of Arithmetica that is now lost.needed
Although The Porisms is lost, we know three lemmas contained there, since Diophantus refers to them in the Arithmetica. One lemma states that the difference of the cubes of two rational numbers is equal to the sum of the cubes of two other rational numbers, i.e. given any a and b, with a b, there exist c and d, all positive and rational, such that
Polygonal numbers and geometric elements
Diophantus is also known to have written on polygonal numbers, a topic of great interest to Pythagoras and Pythagoreans. Fragments of a book dealing with polygonal numbers are extant.
A book called Preliminaries to the Geometric Elements has been traditionally attributed to Hero of Alexandria. It has been studied recently by Wilbur Knorr, who suggested that the attribution to Hero is incorrect, and that the true author is Diophantus.
Influence
Diophantus work has had a large influence in history. Editions of Arithmetica exerted a profound influence on the development of algebra in Europe in the late sixteenth and through the seventeenth and eighteenth centuries. Diophantus and his works have also influenced Arab mathematics and were of great fame among Arab mathematicians. Diophantus work created a foundation for work on algebra and in fact much of advanced mathematics is based on algebra. As far as we know Diophantus did not affect the lands of the Orient much and how much he affected India is a matter of debate.
The father of algebra?
Diophantus is often called “the father of algebra" because he contributed greatly to number theory, mathematical notation, and because Arithmetica contains the earliest known use of syncopated notation. However, it seems that many of the methods for solving linear and quadratic equations used by Diophantus go back to Babylonian mathematics. For this, and other, reasons mathematical historian Kurt Vogel writes: “Diophantus was not, as he has often been called, the father of algebra. Nevertheless, his remarkable, if unsystematic, collection of indeterminate problems is a singular achievement that was not fully appreciated and further developed until much later.”
Diophantine analysis
See also: Diophantine equation
Today Diophantine analysis is the area of study where integer (whole number) solutions are sought for equations, and Diophantine equations are polynomial equations with integer coefficients to which only integer solutions are sought. It is usually rather difficult to tell whether a given Diophantine equation is solvable. Most of the problems in Arithmetica lead to quadratic equations. Diophantus looked at 3 different types of quadratic equations: , , and . The reason why there were three cases to Diophantus, while today we have only one case, is that he did not have any notion for zero and he avoided negative coefficients by considering the given numbers to all be positive in each of the three cases above. Diophantus was always satisfied with a rational solution and did not require a whole number which means he accepted fractions as solutions to his problems. Diophantus considered negative or irrational square root solutions "useless", "meaningless", and even "absurd". To give one specific example, he calls the equation absurd because it would lead to a negative value for x. One solution was all he looked for in a quadratic equation. There is no evidence that suggests Diophantus even realized that there could be two solutions to a quadratic equation. He also considered simultaneous quadratic equations.
Mathematical notation
Diophantus made important advances in mathematical notation. He was the first person to use algebraic notation and symbolism. Before him everyone wrote out equations completely. Diophantus introduced an algebraic symbolism that used an abridged notation for frequently occurring operations, and an abbreviation for the unknown and for the powers of the unknown. Mathematical historian Kurt Vogel states:
“The symbolism that Diophantus introduced for the first time, and undoubtedly devised himself, provided a short and readily comprehensible means of expressing an equation... Since an abbreviation is also employed for the word ‘equals’, Diophantus took a fundamental step from verbal algebra towards symbolic algebra.”needed
Although Diophantus made important advances in symbolism, he still lacked the necessary notation to express more general methods. This caused his work to be more concerned with particular problems rather than general situations. Some of the limitations of Diophantus notation are that he only had notation for one unknown and, when problems involved more than a single unknown, Diophantus was reduced to expressing "first unknown", "second unknown", etc. in words. He also lacked a symbol for a general number n. Where we would write , Diophantus has to resort to constructions like : ... a sixfold number increased by twelve, which is divided by the difference by which the square of the number exceeds three.
Algebra still had a long way to go before very general problems could be written down and solved succinctly.
See also
Erdős–Diophantine graph
Diophantus II.VIII
Polynomial Diophantine equation
Notes
^ Research Machines plc. (2004). The Hutchinson dictionary of scientific biography. Abingdon, Oxon: Helicon Publishing. p. 312. "Diophantus (lived c.A.D. 270-280) Greek mathematician who, in solving linear mathematical problems, developed an early form of algebra."
^ Boyer, Carl B. (1991). "Revival and Decline of Greek Mathematics". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc.. p. 178. ISBN 0-471-54397-7. "At the beginning of this period, also known as the Later Alexandrian Age, we find the leading Greek algebraist, Diophantus of Alexandria, and toward its close there appeared the last significant Greek geometer, Pappus of Alexandria."
^ Cooke, Roger (1997). "The Nature of Mathematics". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. p. 7. ISBN 0-471-18082-3. "Some enlargement in the sphere in which symbols were used occurred in the writings of the third-century Greek mathematician Diophantus of Alexandria, but the same defect was present as in the case of Akkadians."
^ Victor J. Katz (1998). A History of Mathematics: An Introduction, p. 184. Addison Wesley, ISBN 0-321-01618-1.
"But what we really want to know is to what extent the Alexandrian mathematicians of the period from the first to the fifth centuries C.E. were Greek. Certainly, all of them wrote in Greek and were part of the Greek intellectual community of Alexandria. And most modern studies conclude that the Greek community coexisted So should we assume that Ptolemy and Diophantus, Pappus and Hypatia were ethnically Greek, that their ancestors had come from Greece at some point in the past but had remained effectively isolated from the Egyptians? It is, of course, impossible to answer this question definitively. But research in papyri dating from the early centuries of the common era demonstrates that a significant amount of intermarriage took place between the Greek and Egyptian communities And it is known that Greek marriage contracts increasingly came to resemble Egyptian ones. In addition, even from the founding of Alexandria, small numbers of Egyptians were admitted to the privaleged classes in the city to fulfill numerous civic roles. Of course, it was essential in such cases for the Egyptians to become "Hellenized," to adopt Greek habits and the Greek language. Given that the Alexandrian mathematicians mentioned here were active several hundred years after the founding of the city, it would seem at least equally possible that they were ethnically Egyptian as that they remained ethnically Greek. In any case, it is unreasonable to portray them with purely European features when no physical descriptions exist."
^ Katz, Mikhail G.; Schaps, David; Shnider, Steve (2013), "Almost Equal: The Method of Adequality from Diophantus to Fermat and Beyond", Perspectives on Science 21 (3), arXiv:1210.7750
^ J. Sesiano (1982). Books IV to VII of Diophantus Arithmetica in the Arabic Translation Attributed to Qusta ibn Luqa. New York/Heidelberg/Berlin: Springer-Verlag. p. 502.
^ Hankel H., “Geschichte der mathematic im altertum und mittelalter, Leipzig, 1874. (translated to English by Ulrich Lirecht in Chinese Mathematics in the thirteenth century, Dover publications, New York, 1973.
^ Knorr, Wilbur: Arithmêtike stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria, in: Historia Matematica, New York, 1993, Vol.20, No.2, 180-192
^ Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), page 228
^ Harald Kittel, Übersetzung: ein internationales Handbuch zur Übersetzungsforschung, Volume 2 p. 1123, 1124
References
Allard, A. "Les scolies aux arithmétiques de Diophante dAlexandrie dans le Matritensis Bibl.Nat.4678 et les Vatican Gr.191 et 304" Byzantion 53. Brussels, 1983: 682-710.
Christianidis, J. "Maxime Planude sur le sens du terme diophantien "plasmatikon"", Historia Scientiarum, 6 (1996)37-41.
Christianidis, J. "Une interpretation byzantine de Diophante", Historia Mathematica, 25 (1998) 22-28.
Heath, Sir Thomas, Diophantos of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra, Cambridge: Cambridge University Press, 1885, 1910.
Robinson, D. C. and Luke Hodgkin. History of Mathematics, Kings College London, 2003.
Sesiano, Jacques. Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the Arabic translation attributed to Qusṭā ibn Lūqā, Heidelberg: Springer-Verlag, 1982. ISBN 0-387-90690-8.
Tannery, P. L. Diophanti Alexandrini Opera omnia: cum Graecis commentariis, Lipsiae: In aedibus B.G. Teubneri, 1893-1895.
Ver Eecke, P. Diophante d’Alexandrie: Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones, Bruges: Desclée, De Brouwer, 1921.
Further reading
Heath, Sir Thomas (1981). A history of Greek mathematics. 2. Cambridge University Press: Cambridge.
Vogel, Kurt (1970). "Diophantus of Alexandria". Dictionary of Scientific Biography. 4. New York: Scribner.
External links
OConnor, John J.; Robertson, Edmund F., "Diophantus", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
Diophantuss Riddle Diophantus epitaph, by E. Weisstein
Norbert Schappacher (2005). Diophantus of Alexandria : a Text and its History.
Tannerys edition of the Works of Diophantus, now in the public domain (Classical Greek)
Review of Sesianos Diophantus Review of J. Sesiano, Books IV to VII of Diophantus Arithmetica, by Jan P. Hogendijk
Latin translation from 1575 by Wilhelm Xylander
v t e
Greek mathematics
Mathematicians
Anaxagoras Anthemius Archytas Aristaeus the Elder Aristarchus Apollonius Archimedes Autolycus Bion Boethius Bryson Callippus Carpus Chrysippus Cleomedes Conon Ctesibius Democritus Dicaearchus Diocles Diophantus Dinostratus Dionysodorus Domninus Eratosthenes Eudemus Euclid Eudoxus Eutocius Geminus Heron Hipparchus Hippasus Hippias Hippocrates Hypatia Hypsicles Isidore of Miletus Leo the Mathematician Marinus Menaechmus Menelaus Metrodorus Nicomachus Nicomedes Nicoteles Oenopides Pappus Perseus Philolaus Philon Porphyry Posidonius Proclus Ptolemy Pythagoras Serenus Simplicius Sosigenes Sporus Thales Theaetetus Theano Theodorus Theodosius Theon of Alexandria Theon of Smyrna Thymaridas Xenocrates Zeno of Elea Zeno of Sidon Zenodorus
Treatises
Almagest Archimedes Palimpsest Arithmetica Conics Elements On the Sizes and Distances (Aristarchus) On Sizes and Distances (Hipparchus) On the Moving Sphere The Sand Reckoner
Centers
Cyrene Library of Alexandria Platonic Academy
Influences
Babylonian mathematics Egyptian mathematics
Influenced
European mathematics Indian mathematics Mathematics in medieval Islam
Tables
Timetable of Greek mathematicians
Problems
Problem of Apollonius Squaring the circle Doubling the cube Angle trisection
Authority control
VIAF: 2604182
View page ratings
Rate this page
Whats this?
Trustworthy
Objective
Complete
Well-written
I am highly knowledgeable about this topic (optional)
Submit ratings
Categories: Number theoristsAncient AlexandriansAncient Greek mathematicians3rd-century births3rd-century deaths
diophantus alexandria
ديوفانتوس الإسكندرية
محتویات
شرح زندگی
از کسانی که اهمیت وافری در بسط جبر و تأثیری عظیم بر دانشمندان اروپایی نظریه اعداد داشتند، دیوفانت بود. دیوفانت، همچون هرون، ریاضیدان دیگری با تاریخ و ملیت نامعلوم است.
گرچه شواهد ضعیفی وجود دارند مبنی بر اینکه وی شاید از معاصرین، یا تقریباً از معاصرین هرون بوده‌است، اغلب مورخین مایلند او را در قرن سوم عصر حاضر قرار دهند. سوای این حقیقت که او در اسکندریه زندگی می‌کرده‌است چیز قطعی در باره وی معلوم نمی‌باشد. تقریباً همه آنچه از زندگی شخصی دیوفانت می‌دانیم اطلاعات موجود در یک معما است که در خلاصه زیر از کتیبه گوری که در آنتولوژی یونانی داده شده‌است، مندرج است:
«دیوفانت یک ششم زندگانی خود را در کودکی به سر برد، یک دوازدهم آن را در جوانی و یک هفتم دیگر را در تجرد. پنج سال بعد از ازدواج صاحب پسری شد که چهار سال پیش از پدر، در سنی که نصف سن (نهایی) پدرش بود، در گذشت.دیوفانت به هنگام وفات چند سال داشت؟»
او به خاطر مطالعات خود در زمینه معادلاتی با متغیرهای گویا بسیار مشهور است و این معادلات پس از او به نام معادلات دیوفانتی یا معادلات سیاله نامیده شدند. دیوفانت سه اثر نوشته‌است:
آریثمتیکا (Arithmetica) یا همان علم حساب، مهم‌ترین اثر وی است که ۶ مقاله از ۱۳ مقاله آن باقی است.
درباره اعداد چند ضلعی (On Polygonal Numbers) که تنها قطعه‌ای از آن باقی است.
پوریسم‌ها که مفقود شده‌است. پوریسم (Porism) امروزه به عنوان گزاره‌ای گرفته می‌شود، بیانگر شرطی که مسئله معینی را قابل حل می‌گرداند، و در این صورت مسئله بینهایت جواب دارد. برای مثال اگر r و R شعاع‌های دو دایره و d فاصله بین مراکز آنها باشد، مسئله محاط کردن مثلثی در دایرهٔ به شعای R که بر دایره به شعاع r محیط شود، فقط و فقط وقتی قابل حل است که ، و در این صورت بینهایت مثلث از این قبیل وجود خواهد داشت. این واژه توسط اقلیدس به کار رفته‌است.
آریثمتیکا شارحین بسیاری داشته‌است، اما رگیومونتانوس (Regiomontanus) بود که در سال ۱۴۶۳، برای ترجمه لاتین متن یونانی آن دعوت به عمل آورد. ترجمه شایسته‌ای از آن، همراه با شرح، در ۱۵۷۵ توسط کسیلاندر (Xylander) -نامی یونانی که ویلهلم هولتسمان (Wilhelm Holzmann)، استادی در دانشگاه هایدلبرگ اختیار کرده بود-انجام شد. این ترجمه به نوبه خود توسط باشه دومزیریاک (Bachet de Meziriac) فرانسوی مورد استفاده قرار گرفت و وی در ۱۶۲۱ اولین چاپ متن یونانی را همراه با ترجمه لاتین و حاشیه‌هایی بر آن منتشر کرد. چاپ دومی، که با بی‌مبالاتی صورت گرفته بود، در ۱۶۷۰ انتشار یافت، و از نظر تاریخی بدان سبب اهمیت دارد که حواشی نوشته شده توسط فرما را که انگیزه تحقیقات گسترده‌ای در نظریه اعداد شد، شامل می‌شد. ترجمه‌های فرانسوی، آلمانی و انگلیسی بعدها ظاهر شدند.
آریثمتیکا یک بررسی تحلیلی از نظریه جبری اعداد است و دلالت بر چیره‌دستی مؤلف آن در این زمینه دارد. بخش موجود این اثر به حل حدود ۱۳۰ مسئله، که تنوع قابل ملاحظه‌ای دارند، اختصاص یافته‌است و منجر به معادلاتی از درجه اول و دوم می‌شوند. در این اثر حالت بسیار خاصی از معادله درجه سوم حل شده‌است. مقاله اول به معادلات معین با یک مجهول مربوط است، و مقاله‌های دیگر به معادلات نامعین (سیاله) از درجه دوم و گاهی بیشتر، با دو یا سه مجهول می‌پردازند. آنچه قابل توجه‌است فقدآن روشهای کلی، و کاربردهای مکرر تدابیر هوشمندانه‌ای است که به اقتضای هر مسئله طرح می‌شوند. دیوفانت تنها جوابهای گویای مثبت را قبول داشت و اغلب حالات فقط به یک جواب برای مسئله قانع بود.
چند قضیه موثر درباره اعداد در آریثمتیکا وجود دارند. مثلاً، بدون برهان ولی با اشاراتی به پوریسم‌ها، گفته می‌شود که تفاضل دو مکعب گویا مجموع دو مکعب گویا نیز هست. مطلبی که بعداً توسط ویت، باشه و فرما تحقیق شد.
قضایای زیادی درباره نمایش اعداد به صورت مجموع دو، سه یا چهار مربع وجود دارند، این زمینه تحقیق بعدها به وسیله فرما، اویلر و لاگرانژ تکمیل شد. شاید ذکر برخی از مسائلی که در آریثمتیکا دیده می‌شوند جالب باشد، همه آنها جذاب و بعضی از آنها مستلزم تلاش فراوان هستند. باید در نظر داشت که منظور از «عدد»، «عدد مثبت گویا» است. (شماره گذاری مسائل به همان ترتیبی است که در Diophantus of Alexandria چاپ دوم به کار رفته‌است)
مسئله ۲۸، مقاله ۲: دوعدد مربع کامل بیابید که اگر حاصلضرب آنها بر هریک از آنها افزوده شود، یک مربع کامل عاید نماید.
(جواب دیوفانت:)
مسئله۶، مقاله ۳: سه عدد پیدا کنید که مجموع آنها یک مربع کامل و مجموع هر زوج آنها یک مربع کامل باشد.
(جواب دیوفانت: ۸۰، ۳۲۰، ۴۱)
مسئله۷، مقاله ۳: سه عدد که تصاعد حسابی تشکیل می‌دهند، پیدا کنید که مجموع هر زوج از آنها یک مربع کامل باشد.
(جواب دیوفانت: )
مسئله۱۳، مقاله ۳: سه عدد بیابید که وقتی حاصلضرب هر دو تا از آنها به سومی افزوده شود، حاصل یک مربع کامل باشد.
همانطور که گفته شد مسایل جبری نامعین (معادلات سیاله) که در آن تنها باید جوابهای گویا را یافت، به مسایل دیوفانتی معروف شده‌اند. در واقع، موارد استفاده امروزی این اصطلاح اغلب متضمن تحدید جوابها به اعداد صحیح است. اما دیوفانت خود ابداع کننده مسایلی از این قبیل نبوده‌است. همچنین بر خلاف آنچه گاهی گفته می‌شود، اولین کسی نبوده‌است که با معادلات سیاله کار کرده‌است، و اولین کسی نبوده‌است که معادلات درجه دوم را به روش غیر هندسی حل کرده‌است. با این حال وی شاید اولین کسی بوده که گامهایی در جهت نماد گذاری جبری برداشته‌است. این گامها ماهیتاً از نوع علائم اختصاری تندنویسی بودند.
دیوفانت علائم اختصاری برای مجهول، توانهای مجهول تا مرتبه ششم، تفریق، تساوی، و معکوسها داشت. کلمه «آریثمتیک» در انگلیسی کنونی (arithmetic) به معنی علم حساب، از کلمه یونانی آریثمتیکه (arithmetike) ترکیبی از کلمات آریثموس (arithmos) برای «عدد» و تکنه (techne) برای «علم»، ناشی می‌شود.
هیث به طور نسبتاً متقاعد کننده‌ای خاطر نشان کرده‌است که نماد دیوفانت برای مجهول احتمالاً از ادغام دو حرف یونانی ρ,α در کلمه آریثموس مشتق شده‌است، که با گذشت زمان، به سیگمای نهایی نهایی یونانی ς شباهت پیدا کرده‌است. با وجود اینکه در این مورد تردید وجود دارد، معنی نماد برای توانها مجهول کاملاً روشن است.
مثلاً «توان دوم مجهول» با دو حرف اول کلمه یونانی «دونامیس» (dunamis-ΔΥΝΑΜΙΣ) برای «توان» نشان داده می‌شود. همینطور «مکعب مجهول» با ، دو حرف اول کلمه یونانی «کوبوس» (kubos-ΚΥΒΟΣ) برای «مکعب» نشان داده می‌شود.
می‌توان به سادگی توضیحاتی برای توانهای بعدی مجهول داد، (مربع-مربع) ، (مربع-مکعب) و (مکعب-مکعب) عرضه کرد.
نماد دیوفانت برای «منها» شبیه علامت V برعکس است که نیمساز زاویه آن رسم شده باشد. این به عنوان ترکیبی از «Λ» (لاندای بزرگ یونانی) و «Ι» (اوتای بزرگ یونانی)، حروفی در کلمه یونانی لایپیس (ΛΕΙΨΙΣ) برای «فاقد بودن» تعبیر شده‌است. کلیه جملات منفی در یک عبارت یکجا جمع می‌شوند و نماد منها پیش از آنها می‌آید. جمع با پهلوی هم نهادن نشان داده می‌شود، و ضریب هر توان مجهول با ارقام یونانی الفبایی بعد از نماد توان، نمایش داده می‌شود. اگر جمله ثابتی موجود باشد آنگاه M، مخففی از کلمه یونانی «مونادس» (monades-ΜΟΝΑΔΕΣ)، برای «آحاد»، باضریب عددی مناسب، برای نمایش آن به کار می‌رود.
مثلاً x3+13x2+5x و x3-5x2+8x-1 به صورت:
ظاهر می‌شوند که به طور تحت الفظی چنین خوانده می‌شوند: «مکعب مجهول ۱، مربع مجهول ۱۳، مجهول ۵» و « (مکعب مجهول ۱، مجهول ۸) منهای (مربع مجهول ۵، آحاد ۱) »
جستارهای وابسته
معادله سیاله
آنتولوژی یونانی
اعداد
دستگاههای عدد نویسی
ریاضیات بابلی و مصری
فیثاغورس
ارشمیدس
جستارهای وابسته
معادله سیاله
آنتولوژی یونانی
اعداد
دستگاههای عدد نویسی
ریاضیات بابلی و مصری
فیثاغورس
ارشمیدس
منابع
هاورد و.ایوز. آشنایی با تاریخ ریاضیات. ترجمهٔ دکتر محمد قاسم وحیدی اصل. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۶۹.
مراجع کتابداری
نامنامه برخط (VIAF): 2604182
رده‌ها: درگذشتگان سده ۳ (میلادی)ریاضیدانان اهل یون انزادگان سده ۳ (میلادی)
قس عربی
دیوفانتوس الاسکندری (بالیونانیة: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς XD هو عالم یونانی عاش فی الإسکندریة وبرع فی الریاضیات. ما عرف عن حیاته قلیل جداً حیث لم یعرف تاریخ ولادته ولا تاریخ وفاته بدقة. وجد فی کتاب لأحد الأساقفة الیونان إهداء من الکاتب إلى دیوفانتوس عام 345م ویبحث الکتاب فی علم الحساب عند المصریین. ألّف دیوفانتوس 13 کتاباً باللغة الیونانیة، لم یحفظ منها إلا ستة فقط، وقد کتب جوهانس مولر بتاریخ ما بین (1436-1476) إلى صدیق له أنه وجد الکتب الستة الأولى لدیوفانتوس فی مکتبة الفاتیکان وأنه سیقوم بترجمتها، ولکن لم تتم الترجمة إلا بعد أکثر من مئة عام.
تأثر دیوفانتوس بالمصریین والبابلیین والصینیین کما هو واضح فی أعماله التی من أهمها کتاب الحساب الذی یعدُّ أقدم کتاب استخدم الرموز الجبریّة. وبحث فی خواص الأعداد الصحیحة. لم یطرأ تطور یذکر على نظریة الأعداد بعد دیوفانتوس حتى القرن السابع عشر المیلادی حین ظهر فیرما الذی جعل من أعمال دیوفانتوس أساساً لأبحاثه.
مراجع
^
هذه بذرة مقالة عن سیرة عالم أو باحث علمی تحتاج للنمو والتحسین، فساهم فی إثرائها بالمشارکة فی تحریرها.
بوابة الریاضیات بوابة الإسکندریة
تصنیفات: عاملون فی نظریة الأعداد ریاضیاتیون إغریق موالید القرن 3وفیات القرن 3
قس انگلیسی
Diophantus of Alexandria (Ancient Greek: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς. b. between A.D. 200 and 214, d. between 284 and 298 at age 84), sometimes called "the father of algebra", was an Alexandrian Greek mathematician and the author of a series of books called Arithmetica. These texts deal with solving algebraic equations, many of which are now lost. In studying Arithmetica, Pierre de Fermat concluded that a certain equation considered by Diophantus had no solutions, and noted without elaboration that he had found "a truly marvelous proof of this proposition," now referred to as Fermats Last Theorem. This led to tremendous advances in number theory, and the study of Diophantine equations ("Diophantine geometry") and of Diophantine approximations remain important areas of mathematical research. Diophantus coined the term παρισὀτης to refer to an approximate equality. This term was rendered as adaequalitat in Latin, and became the technique of adequality developed by Pierre de Fermat to find maxima for functions and tangent lines to curves. Diophantus was the first Greek mathematician who recognized fractions as numbers; thus he allowed positive rational numbers for the coefficients and solutions. In modern use, Diophantine equations are usually algebraic equations with integer coefficients, for which integer solutions are sought. Diophantus also made advances in mathematical notation.
Contents
Biography
Little is known about the life of Diophantus. He lived in Alexandria, Egypt, probably from between A.D. 200 and 214 to 284 or 298. Much of our knowledge of the life of Diophantus is derived from a 5th century Greek anthology of number games and strategy puzzles. One of the problems (sometimes called his epitaph) states:
Here lies Diophantus, the wonder behold.
Through art algebraic, the stone tells how old:
God gave him his boyhood one-sixth of his life,
One twelfth more as youth while whiskers grew rife;
And then yet one-seventh ere marriage begun;
In five years there came a bouncing new son.
Alas, the dear child of master and sage
After attaining half the measure of his fathers life chill fate took him. After consoling his fate by the science of numbers for four years, he ended his life.
This puzzle implies that Diophantus lived to be 84 years old. However, the accuracy of the information cannot be independently confirmed.
In popular culture, this puzzle was the Puzzle No.142 in Professor Layton and Pandoras Box as one of the hardest solving puzzles in the game, which needed to be unlocked by solving other puzzles first.
Arithmetica
See also: Arithmetica
The Arithmetica is the major work of Diophantus and the most prominent work on algebra in Greek mathematics. It is a collection of problems giving numerical solutions of both determinate and indeterminate equations. Of the original thirteen books of which Arithmetica consisted only six have survived, though there are some who believe that four Arab books discovered in 1968 are also by Diophantus. Some Diophantine problems from Arithmetica have been found in Arabic sources.
It should be mentioned here that Diophantus never used general methods in his solutions. Hermann Hankel, renowned German mathematician made the following remark regarding Diophantus.
“Our author (Diophantos) not the slightest trace of a general, comprehensive method is discernible; each problem calls for some special method which refuses to work even for the most closely related problems. For this reason it is difficult for the modern scholar to solve the 101st problem even after having studied 100 of Diophantos’s solutions” – discuss
History
Like many other Greek mathematical treatises, Diophantus was forgotten in Western Europe during the so-called Dark Ages, since the study of ancient Greek had greatly declined. The portion of the Greek Arithmetica that survived, however, was, like all ancient Greek texts transmitted to the early modern world, copied by, and thus known to, medieval Byzantine scholars. In addition, some portion of the Arithmetica probably survived in the Arab tradition (see above). In 1463 German mathematician Regiomontanus wrote:
“No one has yet translated from the Greek into Latin the thirteen books of Diophantus, in which the very flower of the whole of arithmetic lies hidden . . . .”
Arithmetica was first translated from Greek into Latin by Bombelli in 1570, but the translation was never published. However, Bombelli borrowed many of the problems for his own book Algebra. The editio princeps of Arithmetica was published in 1575 by Xylander. The best known Latin translation of Arithmetica was made by Bachet in 1621 and became the first Latin edition that was widely available. Pierre de Fermat owned a copy, studied it, and made notes in the margins.
Margin writing by Fermat and Chortasmenos
Problem II.8 in the Arithmetica (edition of 1670), annotated with Fermats comment which became Fermats Last Theorem.
The 1621 edition of Arithmetica by Bachet gained fame after Pierre de Fermat wrote his famous "Last Theorem" in the margins of his copy:
“If an integer n is greater than 2, then has no solutions in non-zero integers a, b, and c. I have a truly marvelous proof of this proposition which this margin is too narrow to contain.”
Fermats proof was never found, and the problem of finding a proof for the theorem went unsolved for centuries. A proof was finally found in 1994 by Andrew Wiles after working on it for seven years. It is believed that Fermat did not actually have the proof he claimed to have. Although the original copy in which Fermat wrote this is lost today, Fermats son edited the next edition of Diophantus, published in 1670. Even though the text is otherwise inferior to the 1621 edition, Fermats annotations—including the "Last Theorem"—were printed in this version.
Fermat was not the first mathematician so moved to write in his own marginal notes to Diophantus; the Byzantine scholar John Chortasmenos (14th/15th C.) had written "Thy soul, Diophantus, be with Satan because of the difficulty of your theorems" next to the same problem.
Other works
Diophantus wrote several other books besides Arithmetica, but very few of them have survived.
The Porisms
Diophantus himself refers to a work which consists of a collection of lemmas called The Porisms (or Porismata), but this book is entirely lost. Some scholars think that The porisms may have actually been a section of Arithmetica that is now lost.needed
Although The Porisms is lost, we know three lemmas contained there, since Diophantus refers to them in the Arithmetica. One lemma states that the difference of the cubes of two rational numbers is equal to the sum of the cubes of two other rational numbers, i.e. given any a and b, with a b, there exist c and d, all positive and rational, such that
Polygonal numbers and geometric elements
Diophantus is also known to have written on polygonal numbers, a topic of great interest to Pythagoras and Pythagoreans. Fragments of a book dealing with polygonal numbers are extant.
A book called Preliminaries to the Geometric Elements has been traditionally attributed to Hero of Alexandria. It has been studied recently by Wilbur Knorr, who suggested that the attribution to Hero is incorrect, and that the true author is Diophantus.
Influence
Diophantus work has had a large influence in history. Editions of Arithmetica exerted a profound influence on the development of algebra in Europe in the late sixteenth and through the seventeenth and eighteenth centuries. Diophantus and his works have also influenced Arab mathematics and were of great fame among Arab mathematicians. Diophantus work created a foundation for work on algebra and in fact much of advanced mathematics is based on algebra. As far as we know Diophantus did not affect the lands of the Orient much and how much he affected India is a matter of debate.
The father of algebra?
Diophantus is often called “the father of algebra" because he contributed greatly to number theory, mathematical notation, and because Arithmetica contains the earliest known use of syncopated notation. However, it seems that many of the methods for solving linear and quadratic equations used by Diophantus go back to Babylonian mathematics. For this, and other, reasons mathematical historian Kurt Vogel writes: “Diophantus was not, as he has often been called, the father of algebra. Nevertheless, his remarkable, if unsystematic, collection of indeterminate problems is a singular achievement that was not fully appreciated and further developed until much later.”
Diophantine analysis
See also: Diophantine equation
Today Diophantine analysis is the area of study where integer (whole number) solutions are sought for equations, and Diophantine equations are polynomial equations with integer coefficients to which only integer solutions are sought. It is usually rather difficult to tell whether a given Diophantine equation is solvable. Most of the problems in Arithmetica lead to quadratic equations. Diophantus looked at 3 different types of quadratic equations: , , and . The reason why there were three cases to Diophantus, while today we have only one case, is that he did not have any notion for zero and he avoided negative coefficients by considering the given numbers to all be positive in each of the three cases above. Diophantus was always satisfied with a rational solution and did not require a whole number which means he accepted fractions as solutions to his problems. Diophantus considered negative or irrational square root solutions "useless", "meaningless", and even "absurd". To give one specific example, he calls the equation absurd because it would lead to a negative value for x. One solution was all he looked for in a quadratic equation. There is no evidence that suggests Diophantus even realized that there could be two solutions to a quadratic equation. He also considered simultaneous quadratic equations.
Mathematical notation
Diophantus made important advances in mathematical notation. He was the first person to use algebraic notation and symbolism. Before him everyone wrote out equations completely. Diophantus introduced an algebraic symbolism that used an abridged notation for frequently occurring operations, and an abbreviation for the unknown and for the powers of the unknown. Mathematical historian Kurt Vogel states:
“The symbolism that Diophantus introduced for the first time, and undoubtedly devised himself, provided a short and readily comprehensible means of expressing an equation... Since an abbreviation is also employed for the word ‘equals’, Diophantus took a fundamental step from verbal algebra towards symbolic algebra.”needed
Although Diophantus made important advances in symbolism, he still lacked the necessary notation to express more general methods. This caused his work to be more concerned with particular problems rather than general situations. Some of the limitations of Diophantus notation are that he only had notation for one unknown and, when problems involved more than a single unknown, Diophantus was reduced to expressing "first unknown", "second unknown", etc. in words. He also lacked a symbol for a general number n. Where we would write , Diophantus has to resort to constructions like : ... a sixfold number increased by twelve, which is divided by the difference by which the square of the number exceeds three.
Algebra still had a long way to go before very general problems could be written down and solved succinctly.
See also
Erdős–Diophantine graph
Diophantus II.VIII
Polynomial Diophantine equation
Notes
^ Research Machines plc. (2004). The Hutchinson dictionary of scientific biography. Abingdon, Oxon: Helicon Publishing. p. 312. "Diophantus (lived c.A.D. 270-280) Greek mathematician who, in solving linear mathematical problems, developed an early form of algebra."
^ Boyer, Carl B. (1991). "Revival and Decline of Greek Mathematics". A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc.. p. 178. ISBN 0-471-54397-7. "At the beginning of this period, also known as the Later Alexandrian Age, we find the leading Greek algebraist, Diophantus of Alexandria, and toward its close there appeared the last significant Greek geometer, Pappus of Alexandria."
^ Cooke, Roger (1997). "The Nature of Mathematics". The History of Mathematics: A Brief Course. Wiley-Interscience. p. 7. ISBN 0-471-18082-3. "Some enlargement in the sphere in which symbols were used occurred in the writings of the third-century Greek mathematician Diophantus of Alexandria, but the same defect was present as in the case of Akkadians."
^ Victor J. Katz (1998). A History of Mathematics: An Introduction, p. 184. Addison Wesley, ISBN 0-321-01618-1.
"But what we really want to know is to what extent the Alexandrian mathematicians of the period from the first to the fifth centuries C.E. were Greek. Certainly, all of them wrote in Greek and were part of the Greek intellectual community of Alexandria. And most modern studies conclude that the Greek community coexisted So should we assume that Ptolemy and Diophantus, Pappus and Hypatia were ethnically Greek, that their ancestors had come from Greece at some point in the past but had remained effectively isolated from the Egyptians? It is, of course, impossible to answer this question definitively. But research in papyri dating from the early centuries of the common era demonstrates that a significant amount of intermarriage took place between the Greek and Egyptian communities And it is known that Greek marriage contracts increasingly came to resemble Egyptian ones. In addition, even from the founding of Alexandria, small numbers of Egyptians were admitted to the privaleged classes in the city to fulfill numerous civic roles. Of course, it was essential in such cases for the Egyptians to become "Hellenized," to adopt Greek habits and the Greek language. Given that the Alexandrian mathematicians mentioned here were active several hundred years after the founding of the city, it would seem at least equally possible that they were ethnically Egyptian as that they remained ethnically Greek. In any case, it is unreasonable to portray them with purely European features when no physical descriptions exist."
^ Katz, Mikhail G.; Schaps, David; Shnider, Steve (2013), "Almost Equal: The Method of Adequality from Diophantus to Fermat and Beyond", Perspectives on Science 21 (3), arXiv:1210.7750
^ J. Sesiano (1982). Books IV to VII of Diophantus Arithmetica in the Arabic Translation Attributed to Qusta ibn Luqa. New York/Heidelberg/Berlin: Springer-Verlag. p. 502.
^ Hankel H., “Geschichte der mathematic im altertum und mittelalter, Leipzig, 1874. (translated to English by Ulrich Lirecht in Chinese Mathematics in the thirteenth century, Dover publications, New York, 1973.
^ Knorr, Wilbur: Arithmêtike stoicheiôsis: On Diophantus and Hero of Alexandria, in: Historia Matematica, New York, 1993, Vol.20, No.2, 180-192
^ Carl B. Boyer, A History of Mathematics, Second Edition (Wiley, 1991), page 228
^ Harald Kittel, Übersetzung: ein internationales Handbuch zur Übersetzungsforschung, Volume 2 p. 1123, 1124
References
Allard, A. "Les scolies aux arithmétiques de Diophante dAlexandrie dans le Matritensis Bibl.Nat.4678 et les Vatican Gr.191 et 304" Byzantion 53. Brussels, 1983: 682-710.
Christianidis, J. "Maxime Planude sur le sens du terme diophantien "plasmatikon"", Historia Scientiarum, 6 (1996)37-41.
Christianidis, J. "Une interpretation byzantine de Diophante", Historia Mathematica, 25 (1998) 22-28.
Heath, Sir Thomas, Diophantos of Alexandria: A Study in the History of Greek Algebra, Cambridge: Cambridge University Press, 1885, 1910.
Robinson, D. C. and Luke Hodgkin. History of Mathematics, Kings College London, 2003.
Sesiano, Jacques. Books IV to VII of Diophantus’ Arithmetica in the Arabic translation attributed to Qusṭā ibn Lūqā, Heidelberg: Springer-Verlag, 1982. ISBN 0-387-90690-8.
Tannery, P. L. Diophanti Alexandrini Opera omnia: cum Graecis commentariis, Lipsiae: In aedibus B.G. Teubneri, 1893-1895.
Ver Eecke, P. Diophante d’Alexandrie: Les Six Livres Arithmétiques et le Livre des Nombres Polygones, Bruges: Desclée, De Brouwer, 1921.
Further reading
Heath, Sir Thomas (1981). A history of Greek mathematics. 2. Cambridge University Press: Cambridge.
Vogel, Kurt (1970). "Diophantus of Alexandria". Dictionary of Scientific Biography. 4. New York: Scribner.
External links
OConnor, John J.; Robertson, Edmund F., "Diophantus", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.
Diophantuss Riddle Diophantus epitaph, by E. Weisstein
Norbert Schappacher (2005). Diophantus of Alexandria : a Text and its History.
Tannerys edition of the Works of Diophantus, now in the public domain (Classical Greek)
Review of Sesianos Diophantus Review of J. Sesiano, Books IV to VII of Diophantus Arithmetica, by Jan P. Hogendijk
Latin translation from 1575 by Wilhelm Xylander
v t e
Greek mathematics
Mathematicians
Anaxagoras Anthemius Archytas Aristaeus the Elder Aristarchus Apollonius Archimedes Autolycus Bion Boethius Bryson Callippus Carpus Chrysippus Cleomedes Conon Ctesibius Democritus Dicaearchus Diocles Diophantus Dinostratus Dionysodorus Domninus Eratosthenes Eudemus Euclid Eudoxus Eutocius Geminus Heron Hipparchus Hippasus Hippias Hippocrates Hypatia Hypsicles Isidore of Miletus Leo the Mathematician Marinus Menaechmus Menelaus Metrodorus Nicomachus Nicomedes Nicoteles Oenopides Pappus Perseus Philolaus Philon Porphyry Posidonius Proclus Ptolemy Pythagoras Serenus Simplicius Sosigenes Sporus Thales Theaetetus Theano Theodorus Theodosius Theon of Alexandria Theon of Smyrna Thymaridas Xenocrates Zeno of Elea Zeno of Sidon Zenodorus
Treatises
Almagest Archimedes Palimpsest Arithmetica Conics Elements On the Sizes and Distances (Aristarchus) On Sizes and Distances (Hipparchus) On the Moving Sphere The Sand Reckoner
Centers
Cyrene Library of Alexandria Platonic Academy
Influences
Babylonian mathematics Egyptian mathematics
Influenced
European mathematics Indian mathematics Mathematics in medieval Islam
Tables
Timetable of Greek mathematicians
Problems
Problem of Apollonius Squaring the circle Doubling the cube Angle trisection
Authority control
VIAF: 2604182
View page ratings
Rate this page
Whats this?
Trustworthy
Objective
Complete
Well-written
I am highly knowledgeable about this topic (optional)
Submit ratings
Categories: Number theoristsAncient AlexandriansAncient Greek mathematicians3rd-century births3rd-century deaths
diophantus alexandria
ديوفانتوس الإسكندرية
نمایش تصویر
اطلاعات بیشتر واژه
آواشناسی:
منبع:
واژه‌نامه آزاد
معادل ابجد:
1564
شمارگان هجا:
دیگر زبان ها
انگلیسی
diophantus alexandria
عربی
ديوفانتوس الإسكندرية
تشریح نگارش (هوش مصنوعی)
کلمه «دیوفانت دیوفانتوس اسکندرانی» به عنوان یک نام خاص در تاریخ ریاضیات به کار می‌رود. در زیر به چند قاعده نگارشی و قواعد فارسی مربوط به این نام اشاره می‌شود:
-
فاصله‌گذاری: در نگارش کلمات مرکب که شامل نام افراد و مکان‌ها هستند، باید از فاصله‌گذاری مناسب استفاده کرد. در این مورد، «دیوفانت» و «دیوفانتوس اسکندرانی» باید مجزا نوشته شوند.
-
حروف بزرگ: در نوشتن نام‌های خاص، حرف اول هر کلمه باید با حرف بزرگ نوشته شود. بنابراین «دیوفانت» و «دیوفانتوس» و «اسکندرانی» باید با حرف بزرگ آغاز شوند.
-
استفاده از اماکن و نشانه‌ها: در صورت نیاز به استفاده از سایر توضیحات، می‌توان از کلمات توصیفی یا جمله‌های اضافی در مورد این شخصیت استفاده کرد، اما باید دقت کرد که مفهوم واضح باشد.
- نقل قول و اشاره به متون: اگر بخواهید به آثار یا منابع مرتبط با دیوفانت اشاره کنید، باید به شیوه‌ی مناسب از علامت‌های نگارشی مانند گیومه برای نقل قول استفاده کرد.
مثال از نگارش:
«دیوفانت، ریاضیدان مشهور یونانی، در قرن سوم بعد از میلاد می‌زیسته و به عنوان نویسنده کتاب «آریتمتیک» شناخته می‌شود. دیوفانتوس اسکندرانی برای اصول جبر و معادلات دیوفانتی شهرت دارد.»
با رعایت این نکات، میتوانید نام «دیوفانت دیوفانتوس اسکندرانی» را به درستی در متون فارسی استفاده کنید.