مشتق‌گیری لگاریتمی یکی از تکنیک‌های مفید در حساب دیفرانسیل و انتگرال است که به کمک آن می‌توان مشتقات توابع پیچیده را به راحتی محاسبه کرد. در زیر به برخی از قواعد و نکات مهم در مورد مشتق‌گیری لگاریتمی اشاره می‌کنم:

1. تعاریف اولیه:

• لگاریتم: لگاریتم یک عدد به پایه ( b ) به صورت ( \log_b(x) ) تعریف می‌شود که به معنی آن است که ( b^y = x ) که در آن ( y ) لگاریتم x به پایه b است.

2. قاعده مشتق‌گیری لگاریتمی:

برای تابع ( y = f(x) ) که شامل ضرب، تقسیم یا توابع مرکب باشد، ابتدا لگاریتم طبیعی هر دو طرف معادله را می‌گیریم:
[ \ln(y) = \ln(f(x)) ]

3. استفاده از قاعده زنجیره‌ای:

سپس با استفاده از قاعده زنجیره‌ای، مشتق هر دو طرف گرفته می‌شود: [ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)} ]

4. فرمول نهایی:

در نهایت، با توجه به رابطه فوق می‌توان ( \frac{dy}{dx} ) را به دست آورد: [ \frac{dy}{dx} = y \cdot \frac{f'(x)}{f(x)} ]

5. نکات مهم:

• بخش غیرصریح: این روش به‌ویژه زمانی مفید است که ( f(x) ) دارای فرمت‌های پیچیده‌ای مانند ضرب، تقسیم یا توابع نمایی و توانی باشد.
• انتخاب لگاریتم: می‌توان از لگاریتم طبیعی ( \ln ) یا لگاریتم‌های دیگر استفاده کرد، اما معمولاً از لگاریتم طبیعی استفاده می‌شود.

مثال:

برای تابع ( y = x^2 \cdot \sin(x) ):

1. لگاریتم طبیعی را می‌گیریم: [ \ln(y) = \ln(x^2) + \ln(\sin(x)) ]
2. مشتق‌گیری می‌کنیم: [ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x} + \cot(x) ]
3. در نهایت: [ \frac{dy}{dx} = y \left( \frac{2}{x} + \cot(x) \right) = x^2 \cdot \sin(x) \left( \frac{2}{x} + \cot(x) \right) ]

امیدوارم این توضیحات برای شما مفید بوده باشد! در صورت نیاز به مثال‌های بیشتر یا توضیحات دقیق‌تر، خوشحال می‌شوم کمک کنم.