ریاضی فیزیک‌

سلام به همه من یه سوال از نظریه گروه ها دارم فصل ۴ ریاضی فیزیک ۱ کسی هست کمک کنه؟ یک مستطیل رو به صورت یک گروه در نظر بگیرید و جدول ضرب رو برای اون بنویسید و در اخر مشخص کنید abelian (جابه جا پذیر )هست یا خیر ؟

سلام ممنونم از پاسخ شما و یک سوال دیگه داشتم اونم این که روش آبلی و حلقوی برای جدول ضرب گروه ها چگونه عمل می کند؟

فرض می کنیم که مستطیل مورد نظر ما مربع نباشد. تمامی توابع تقارن ممکن را برای مستطیل در نظر می گیریم. برای اینکار چهار راس مستطیل را با اعداد 4و3و2و1 نامگذاری می کنیم.

دوران به اندازه ی 0 درجه : (عضو خنثی)

p_0  (1,2,3,4) ---> (1,2,3,4)

دوران به اندازه ی 180 درجه:

p_1  (1,2,3,4)--> (3,4,1,2)

بازتاب نسبت به محور افقی که وسط عرض ها را به هم وصل می کند:

m_0  (1,2,3,4) --> (4,3,2,1)

بازتاب نسبت به محور عمودی که وسط طول ها را به هم وصل می کند:

m_1  (1,2,3,4) --> (2,1,4,3)

اگر

G= { p_0 , p_1 , m_0 , m_1 }

و ضرب روی آن را به صورت ترکیب توابع

. : G -> G

(f.g)(x) = f(g(x))

در نظر بگیریم در این صورت تشکیل یک گروه می دهد.

این گروه خصوصیات زیر را دارد:

گروهی از مرتبه 4 است.

گروهی آبلی است چراکه جدول حاصل از ضرب اعضای آن (که در پایین آمده است) متقارن است.

سه زیر گروه از مرتبه 2 دارد.

تمامی زیرگروه ها دوری هستند.

(.) -- p_0 -- p_1 -- m_0 -- m_1

p_0 -- p_0 -- p_1 -- m_0 -- m_1

p_1 -- p_1 -- p_0 -- m_1 -- m_0

m_0 -- m-0 -- m_1 -- p_0 -- p_1

m_1 -- m_1 -- m_0 -- p_1 -- p_0